Черный экран, айфон работает

С 99,9% вероятностью, если телефон работает, а картинки нет - у Вас перегорел дисплей. Замена в Москве от 3500 рублей за китайскую копию, до 7000 за оригинал (зависит от жадности мастерской). Ещё 0,1% - что проблема в микросхеме, отвечающей за вывод изображения, но эта проблема редка, как снежный человек и проявляется только после сильного/очень неудачного удара.
Замена дисплея занимает от 20 до 60 минут, в зависимости от состояния телефона.

iPhone 6 является самым проблемным iPhone на сегодняшний день. По описанным вами симптомам проблема может быть связана как с дисплеем, так и с материнской платой.
1. Разрядите смартфон полностью.
2. Подключите его к зарядке. Если в течение 10 минут появился значок батареи на экране, значит дело в материнке (может быть, сбой). Если значка не появится, но смартфон запустится, значит дело в дисплее и его надо менять.
3. Если дело не в дисплее, несите смартфон толковому знакомому или в СЦ на диагностику и ремонт.

Ситуация кажется крайне необычной, но попробуйте пройти следующие шаги первой помощи:

1. Подключите iPhone 6 к компьютеру с помощью USB-кабеля и попробуйте восстановить его через iTunes. Если это не помогает, перейдите к следующему шагу.

2. Попробуйте выполнить сброс настроек iPhone 6. Для этого нужно зайти в меню Настройки - Основные - Сбросить - Сбросить все настройки.

3. Если iPhone 6 не поднимается после сброса настроек, то, возможно, нужно выполнить полное восстановление через iTunes.

4. Если полное восстановление не помогает, то вам, скорее всего, потребуется обратиться к сервисному центру Apple.

Удачи в решении проблемы со смартфоном!