Внутреняя память быстро забивается

Вы не написали полезных подробностей по аппарату. Без них трудно делать выводы.
Как частный случай из моей практики:
Андроиды версии 4... Имели в "настройках", переключатель в виде чекбокса (переключение "галочками"). Которыми можно было выбрать место установки приложений. (Телефон или Карта памяти). При этом карта памяти примонтировалась в Систему, как хранилище программ и данных.
Долгая её работа и большой объём перезаписанных данных могли привести к старению ячеек памяти; и встроенный в карту контроллер, автоматически мог перевести её в режим "только для чтения"
Сторонними программами она могла быть прочитана как "телефонное дисковое пространство" отсюда ошибки вашего восприятия "чистки" телефона.
Карту желательно правильно снять. При выключенном смартфоне !
Установить на компьютер под управлением Виндовс. Скопировать всё её содержимое на жёсткий диск, в отдельную папку. И попробовать форматировать. Если удалось, то снова переместить в неё все спасённые данные.
При невозможности, (с гарантией 50%) можно попробовать снять режим "только для чтения" программой DISKPART из Командной Строки Виндовс.
При неудаче _ установить новую карту памяти.
Ещё один вариант: карты памяти нет, и не было.
Это аналогичный отказ микросхемы памяти, только в Телефоне. На Ваш выбор: либо долгий, трудный и дорогущий ремонт и перепрошивка Системы Андроид, либо воспримите это, как первый звоночек о покупке нового аппарата. Что наиболее предпочтительно...но менее приятно...
*Для случаев "отсутствует память" при установке новых приложений (смартфон Леново): удалите ненужные программы. Не помогло ? Войдите в "Настройки", пункт "Приложения". Ходите по пользовательским приложениям. Отыскивайте кнопочки "Переместить на карту SD" . Перемещайте, что доступно к перемещению. Но прежде убедитесь в наличии свободного места НА КАРТЕ SD. И перечтите написанное выше, возможно, это Ваш случай тоже...

Могу предложить несколько вариантов решения данной проблемы:

1. Перенести приложения и данные на карту памяти: в настройках устройства выберите "Настройки -> Общее управление приложениями", выберите приложение и перенесите его на карту памяти. Если возможность переноса данных есть только у некоторых приложений - установите эти приложения на карту памяти.

2. Очистить кэш приложений: часто кэш приложений может занимать значительное место во внутренней памяти. Очистить кэш можно в настройках приложения - выберите "Настройки -> Общее управление приложениями -> выберите приложение -> Очистить данные".

3. Удалить ненужные приложения и данные: пройдитесь по списку установленных приложений и удалите ненужные. Если у вас есть музыка, фотографии или видео, которые можно сохранить на внешнем носителе, то также рекомендуется перенести их на карту памяти.

4. Обновить операционную систему: иногда проблемы с внутренней памятью могут быть связаны с ошибками в операционной системе. Проверьте, доступно ли обновление для вашего устройства, и обновите его.

Надеюсь, эти советы помогут вам решить проблему со смартфоном Lenovo S660.