телефон греется, тормозит и произвольно перезагружается

Начнём с того, что из сообщения не понятно - вы пробовали первым делом не менять прошивку, а сделать hard reset, вернув телефон в заводские настройки? Это даже не первый, а нулевой шаг, т. к. заводская прошивка в 90% случаев - самая стабильная и менять прошивку надо тоже с умом. Sony Xperia в силу особенности своей архитектуры очень любят перегреваться и мы рекомендуем раз в пол года "обнулять" их, что бы не перегружались "мозги". И так, что можно сделать для устранения проблемы:
1. Всё таки выполнить hard-reset и восстановит заводские настройки.
2. Подобрать подходящую прошивку - перед тем, как отдать телефон, мы пробуем 3, 4, а если надо - и больше прошивок, для выявления наиболее стабильной и подходящей к конкретному устройству. Телефон может заработать со всеми тремя, четырьмя прошивками, но стабильной будет 1-2. Вполне возможно, что у вас проблема именно в плохо подобранной прошивке. И даже если там стоит заводская, у неё могут быть недостатки, которые исправлены умельцами в т. н. custom прошивках. Надо смотреть.
3. Проблема с цепью питания. Как правило, выходит из строя центральный элемент системы - контроллер питания. Это микросхема на центральной плате, замена которой требует большого опыта и специальных знаний. Стоимость ремонта в Москве от 3000 до 6000 рублей, в зависимости от состояния телефона и возможного наличия сопутствующих проблем.
Не исключено, что у вас поломка вызвана несколькими причинами из перечисленных выше. В любом случае - оптимальным вариантом будет отнести телефон в 2-3 сервисных центра на диагностику, послушать, что они скажут, и только после этого приступать к ремонту.

Неси в ремонт дело не шуточное

Судя по описанию, к проблеме могут приводить несколько факторов: проблемы с прошивкой, перегрев, нехватка оперативной памяти, сбой в работе приложений. Во-первых, обновите все приложения и операционную систему на телефоне. Если проблема не исчезнет, то попробуйте использовать приложения менее требовательные к ресурсам устройства. Если это не помогает, то может потребоваться замена батареи, возможно она уже изношена и не может справиться с нагрузкой. Также очистите кэш устройства и приложений, это может помочь снизить нагрузку на процессор и оперативную память. Если после выполнения всех этих действий проблема не разрешится, то возможно необходимо будет обратиться к мастерам сервисного центра для диагностики и ремонта.